L2-001 紧急救援

L2-001 紧急救援 (25 分)

作为一个城市的应急救援队伍的负责人，你有一张特殊的全国地图。在地图上显示有多个分散的城市和一些连接城市的快速道路。每个城市的救援队数量和每一条连接两个城市的快速道路长度都标在地图上。当其他城市有紧急求助电话给你的时候，你的任务是带领你的救援队尽快赶往事发地，同时，一路上召集尽可能多的救援队。

输入格式:

输入第一行给出4个正整数_N_、_M_、_S_、_D_，其中_N_（2≤_N_≤500）是城市的个数，顺便假设城市的编号为0 ~ (_N_−1)；_M_是快速道路的条数；_S_是出发地的城市编号；_D_是目的地的城市编号。

第二行给出_N_个正整数，其中第_i_个数是第_i_个城市的救援队的数目，数字间以空格分隔。随后的_M_行中，每行给出一条快速道路的信息，分别是：城市1、城市2、快速道路的长度，中间用空格分开，数字均为整数且不超过500。输入保证救援可行且最优解唯一。

输出格式:

第一行输出最短路径的条数和能够召集的最多的救援队数量。第二行输出从_S_到_D_的路径中经过的城市编号。数字间以空格分隔，输出结尾不能有多余空格。

输入样例:

4 5 0 3
20 30 40 10
0 1 1
1 3 2
0 3 3
0 2 2
2 3 2

输出样例:

2 60
0 1 3

分析

最短路问题，使用邻接矩阵 e[][] 存储边，dis[] 存储到每个点的最短距离，num[] 存储到每个点的路径条数（初始化为$1$）。在普通最短路的基础上添加一个数组 weight[] 存储每个城市救援队的数目，，w[] 存储到每个点能够召集的救援队的数量，数组 pre[] 存储每个点的上一个点以便输出路径

对于每次 $dijkstra$ 算法的松弛，我们在距离相等时要做额外的判断，如果新的点能够带来更多的救援队，就将这个点的上一个点设为新点并且更新救援队的数目

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

struct node
{
    int dis, u;

    bool operator>(const node &x) const
    {
        return dis > x.dis;
    }
};

int e[510][510], dis[510], w[510], num[510], weight[510], pre[510];
bool vis[510];
int n, m, s, d;
priority_queue<node, vector<node>, greater<node>> q;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

void printPath(int x)
{
    if (x == s)
    {
        printf("%d", x);
        return;
    }
    printPath(pre[x]);
    printf(" %d", x);
}

void dij(int start)
{
    dis[start] = 0;
    w[start] = weight[start];
    num[start] = 1;
    q.push({0, start});
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.top().u;
        q.pop();
        if (vis[u])
            continue;
        vis[u] = true;
        for (int v = 0; v < n; ++v)
        {
            if (!vis[v] && e[u][v] != inf)
            {
                if (dis[v] > dis[u] + e[u][v])
                {
                    dis[v] = dis[u] + e[u][v];
                    w[v] = w[u] + weight[v];
                    num[v] = num[u];
                    pre[v] = u;
                    q.push({dis[v], v});
                }
                else if (dis[v] == dis[u] + e[u][v])
                {
                    num[v] = num[v] + num[u];
                    if (w[v] < w[u] + weight[v])
                    {
                        w[v] = w[u] + weight[v];
                        pre[v] = u;
                    }
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int u, v, t;
    cin >> n >> m >> s >> d;
    fill(dis, dis + 510, inf);
    fill(e[0], e[0] + 510 * 510, inf);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> weight[i];
    for (int i = 0; i < m; ++i)
    {
        cin >> u >> v >> t;
        e[u][v] = t;
        e[v][u] = t;
    }
    dij(s);
    printPath(d);
    return 0;
}